Народився 10 листопада 1977 року в Житомирі у робітничій сім'ї.
У 1984 році Олексій пішов у перший клас у селі Левків,а в другий клас Олексій перейшов у ЗОШ №24 м. Житомира. Після успішного закінчення школи, 1994 року поступив до Житомирського військового інституту радіоелектроніки. Закінчив навчання 1999 року, здобувши кваліфікацію інженера з радіоелектроніки, офіцера військового управління тактичного рівня. Отримав направлення у 80-ту окрему десантно-штурмову бригаду в м. Хирів Старосамбірського району Львівської області. Прослужив там до 2001 року. Потім перевівся у 95-ту десантно-штурмову бри- гаду, що базується в Житомирі.
2004 року Олексій звільнився з лав Збройних сил України і працював на різних посадах у ВАТ "Житомиргаз".
2015 року закінчив Відокремлений структурний підрозділ "Інститут післядипломної освіти Київького національного університету будівництва та архітектури", здобувши повну вищу освіту за спеціальністю "Теплогазопостачання і венти ляція". До початку російської агресії продовжу вав працювати у цій сфері.
Мав чудову сім'ю. Дружина Наталія Богла нівна прашоє вчителем у ліцеї №30; син Назар 2004 року народження, студент Житомирської "Політехніки"; донька Анастасія 2010 р.н., учениця шостого класу ліцею №30.
3 24 лютого проходив службу у 95-ій окремій десантно-штурмовій бригаді.
Після важких, кровопролитних боїв зі звільнення Макарова капітана Олексія Близнюка, як досвідченого офіцера, було призначено ко мандиром аеромобільної роти.
Попереду його чекали важкі бої на Херсонщині.
Олексій Миколайович Близнюк загинув 23 серпня 2022 р. у с. Білогірка Херсонської області внаслідок танкового обстрілу.
За участь у бойових діях 25 березня 2022 року був нагороджений Нагрудним знаком "За військову доблесть".
"За особисту мужність і самовіддані дії, виявлені у захисті державного суверенітету та територіальної цілісності України, вірність військовій присязі" Указом Президента України "Про відзначення державними нагородами України" за №735/2022 Близнюка Олексія Миколайовича нагороджено орденом Богдана Хмельницького III ступеня (посмертно).